Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Ex1.3 वास्तविक संख्याएँ class 10 maths 1.3 solution in hindi

Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Ex1.3

Questions प्रश्न 1.

सिद्ध कीजिए कि 15 एक अपरिमेय संख्या है।

Solution हल.

कल्पना कीजिए कि 15 अपरिमेय न होकर एक परिमेय संख्या है।

तब, N5 = 2 होना चाहिए जबकि 4# 0 तथा p वq पूर्ण संख्याएँ हैं।

q माना p और 4 में 1 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखण्ड सार्वनिष्ठ नहीं है। P9

अब, 15 = 0

p = V5q

=

=

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, p2 = 542

p2, संख्या 5 से विभाज्य है।

p p भी संख्या 5 से विभाज्य है।

अब, p, 5 से विभाज्य है, तब माना कि p = 5r

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, p2 = 25r2

परन्तु हमें यह भी ज्ञात है कि p2 = 542

5q2 =D 25r2002 = 572

तब, 42, 5 से विभाज्य होगा।

तब, qभी 5 से विभाज्य होगा।

भी 5 से विभाज्य है और भी 5 से विभाज्य है।

q5, p और १ का सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्ड है (जो 1 के अतिरिक्त है)।

p q

यह एक विरोधाभास है क्योंकि हमारी मान्यता के अनुसार p और में (1 के अतिरिक्त) कोई अभाज्य गुणनखण्ड सार्वनिष्ठ नहीं है।

यह संकेत करता है कि हमारी कल्पना ' 5 परिमेय संख्या है" असंगत एवं त्रुटिपूर्ण है।

अत: 15 एक अपरिमेय संख्या है।

Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Questions प्रश्न 2.

सिद्ध कीजिए कि 3 + 215 एक अपरिमेय संख्या है।

Class 10 Maths Solutions Chapter 1 solution हल.

माना 3 + 215 अपरिमेय नहीं, परिमेय संख्या है।

तब, 3 + 205 = 2 होना चाहिए जबकि q+0 और p तथा qधन पूर्णांक हैं।

P=3+215 -

2V6

(4-3)-245

3

3

q

2

-15

/

P

q

3

P एक परिमेय संख्या है, तब

भी एक परिमेय संख्या होगी।

2

P-3

और :

P

-3

q

q

परिमेय संख्या है और

2

2

15 भी एक परिमेय संख्या है परन्तु यह सर्वमान्य तथ्य है कि 15 परिमेय नहीं, अपरिमेय संख्या है। तब यहाँ विरोधाभास है।

इस विरोधाभास का कारण हमारी कल्पना '3 + 215 को परिमेय मावना” ही है।

इसलिए 3 + 215 परिमेय नहीं है।

अत: दी गई संख्या 3 + 215 अपरिमेय संख्या है।

Class 10 Maths Solutions Chapter 1 questions प्रश्न 3.

सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं

(i)

(ii) 715

(iii) 6 + 12

Class 10 Maths Solutions Chapter 1soluation हल

(i) मावा दी गई संख्या - परिमेय है।

2 (जहाँ q+0 और p तथा qधन पूर्णांक हैं)

V2

माना p तथा १ में 1 के अतिरिक्त कोई सार्वनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है।

P

q

18

12

42 = 2p2. (1)

92,2 से विभाज्य है।

q भी 2 से विभाज्य है।

तब, माना q=

32r

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

92 = 472

समी० (1) और (2) से,

2p2 = 472

= p2 = 272

p2, संख्या 2 से विभाज्य है।

p भी 2 से विभाज्य है।

तब, p तथा व दोनों 2 से विभाज्य हैं।

p तथा 4 में । के अतिरिक्त अभाज्य गुणनखण्ड 2 भी सार्वविष्ठ है जो कि हमारी मान्यता के विपरीत है।

इस विरोधाभास का कारण हमारी मान्यता कि '5 = परिमेय है" का असंगत एवं त्रुटिपूर्ण होना है। परिमेय नहीं है। अत: 5 अपरिमेय संख्या है।

q

(ii) कल्पना कीजिए कि संख्या 75 परिमेय है।

तब, 705 = 2 (जहाँ q+0 और p तथा qधन पूर्णाक है)

= 715 या V5

- परिमेय संख्या है तो , 2 भी परिमेय संख्या होगी।

अब, , . परिमेय संख्या है और 4 = 15

L

तब, 15 भी परिमेय संख्या होनी चाहिए।

परन्तु यह तथ्य सर्वमान्य है कि 15 परिमेय संख्या नहीं है। यहाँ एक विरोधाभास है जिसका कारण हमारी मान्यता कि 'संख्या 715

परिमेय है" ही है जो असंगत और त्रुटिपूर्ण है।

अत: 715 एक अपरिमेय संख्या

(iii) कल्पना कीजिए कि संख्या 6 + 2 परिमेय है।

तब, 6 + 2 3 (जहाँ q+ 0 तथा p तथा qधन पूर्णाक हैं)

6 + 12 =

2 = 2-6

4 परिमेय है; अतः ( - 6) भी परिमेय होगी।

(६-6) = N2 तथा (-6) परिमेय है।

12 भी परिमेय संख्या है।

परन्तु यह तथ्य कि 12 परिमेय संख्या है" असंगत एवं त्रुटिपूर्ण तथा अमान्य है जिसके लिए हमारे द्वारा की गई गलत कल्पना ही

उत्तरदायी है। संख्या 6 + 2 परिमेय नहीं हो सकती।

अतः संख्या 6 + 12 अपरिमेय होगी।

Class 10 Maths Solutions Chapter 1 ex1.3 

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Exercise 1.4 Class 10 Maths in Hindi

प्रश्नावली 1.3 1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

Exercise 1.3 Class 10 Maths Teachoo

Chapter 1 Exercise 1.3 Class 9

Class 10 Maths Chapter 1

Ex 1.3 Class 10 Question 2

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Ex 1.4 Class 10